Geometrie

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René Descartes, La Geometrie (Erstausgabe 1637)
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Die Geometrie (griech. „Landmessung“) ist ein Teilgebiet der Mathematik.

Einerseits versteht man unter "Geometrie" die zwei- und dreimensionale euklidische Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht gelehrt wird und die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc. beschäftigt; sowie diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge einer systematischen und mathematischen Behandlung dieses Themas entwickelt wurden.

Andererseits umfasst der Begriff „Geometrie" eine Reihe von großen Teilgebieten der Mathematik, deren Bezug zur Elementargeometrie für Nichtfachtleute nur mehr schwer erkennbar ist.

Themenbereiche

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Geometrien

Die Verwendung des Plurals weist darauf hin, dass der Begriff Geometrie in einem ganz bestimmten Sinn gebraucht wird, nämlich Geometrie als mathematische Struktur, deren Elemente traditionellerweise Punkte heißen, und deren Beziehungen untereinander durch Axiome geregelt sind. Dieser Standpunkt geht zurück auf Euklid, der versucht hat, die Sätze der ebenen euklidischen Elementargeometrie auf einige wenige Postulate (d. h. Axiome) zurückzuführen. Die folgende Liste soll einen Überblick über verschiedene Typen von Geometrien, die in dieses Schema passen, geben:

In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen Transformationen, die bestimmte Eigenschaften nicht zerstören: Zum Beispiel ändern weder eine Parallelverschiebung noch eine Drehung oder Spiegelung in einer zweidimensionalen euklidischen Geometrie die Abstände von Punkten. Umgekehrt ist jede Transformation, die die Abstände von Punkten nicht ändert, eine Zusammensetzung von Parallelverschiebungen, Drehungen, und Spiegelungen. Man sagt, dass diese Abbildungen die Transformationsgruppe bilden, die zu einer ebenen euklidischen Geometrie gehört, und dass der Abstand von 2 Punkten ein euklidische Invariante darstellt. Felix Klein hat in seinem Erlanger Programm Geometrie allgemein als die Theorie der Transformationsgruppen und ihrer Invarianten definiert (vgl. Abbildungsgeometrie). Im folgenden sind Geometrien und prominente Invarianten aufgezählt:

  • Projektive Geometrie Invariante sind das Doppelverhältnis (Verhältnis von Teilverhältnissen) von vier Punkten und die Kollinearität von Punkten
  • Affine Geometrie: Die Parallelität von Geraden, das Teilverhältnis von drei Punkten auf einer Geraden, Flächeninhaltsverhältnisse.
  • Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzlich zur affinen Geometrie sind invariant: Streckenverhältnisse, Winkel.
  • Euklidische Geometrie, zusätzliche Invarianten sind Abstände von Punkten.
  • Nichteuklidische Geometrie: Invariant sind die Abstände von Punkten, und die Kollinearität von Punkten. Die nichteuklidischen Geometrien passen jedoch nicht in die obige Hierarchie.

Gebiete der Mathematik, die zur Geometrie zählen

Die folgende Liste umfasst sehr unterschiedliche Dinge. Während etwa Differentialgeometrie und Algebraische Geometrie sehr große und weitreichende Gebiete aktueller mathematischer Forschung darstellen, ist die Fraktale Geometrie zwar in der Öffentlichkeit ungleich populärer, jedoch um einige Größenordnungen insignifikanter.

Geometrie in Schule und Unterricht

Traditionellerweise werden im Geometrieunterricht Geräte wie Zirkel, Lineal und Geodreieck, aber auch der Computer verwendet. Die Anfangsgründe des Geometrieunterrichts befassen sich etwa mit geometrischen Transformationen oder dem Messen von geometrischen Größen wie Länge, Winkel, Fläche, Volumen, Verhältnisse usw. Auch komplexere Objekte wie Spezielle Kurven oder Kegelschnitte kommen vor. Darstellende Geometrie ist die Beschäftigung mit der dreidimensionalen euklidischen Geometrie.

Interaktive Geometrie-Software ist z. B.:

Siehe hierzu auch Dynamische Geometrie.

Geschichte der Geometrie

Zitat: "Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert." (Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1619)

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„Geometriae practicae novae et auctae tractatus“, Daniel Schwenter (1641)
Bildherkunft
In den frühen Hochkulturen gaben die Landvermessung, astronomische Beobachtungen und der Bau von Tempeln, Pyramiden und Brücken erste Anstöße zu geometrischen Überlegungen, da diese es erforderten Winkel zu messen, Flächen- und Rauminhalte zu berechnen und Pläne anzufertigen.

Die Griechen schufen mit Axiomen und davon abgeleiten Lehrsätzen und der Logik des Aristoteles die Grundlage für den Beweis der in Mesopotamien und Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse.
Sie machten die Geometrie zu einer Wissenschaft und benutzten sie auch z.B. zum Beweis zahlentheoretischer Aussagen. Euklid fasste neben anderen Dingen auch die damals bekannten Kenntnisse in der Geometrie in seinem Buch "Die Elemente" zusammen. Die "Elemente" waren bis in die Neuzeit das grundlegende Werk zur Geometrie, und wurde vor allem im angelsächsichen Raum noch lange als Schulbuch verwendet (wozu es denkbar ungeeignet ist).

Im Mittelalter erhielt die Geometrie im Bereich der Trigonometrie (Dreieckslehre) neuen Aufschwung in Indien und in den Ländern des Islam.

In der Neuzeit verlagert sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa.

  • Im 17. Jh. entsteht die analytische Geometrie (Descartes Anhang "La Géométrie" zu "Méthode pour bien conduire sa raison, ..." 1637, Leiden) und
  • im 18. Jh. die Differentialgeometrie als Bindeglied zur Analysis.
  • Ab dem 19. Jahrhundert wird die Geschichte der Geometrie zu komplex, als dass sie hier auch nur annähernd beschrieben werden könnte. Wichtig im Zuge der Exaktifizierung mathematischer Begriffe wie Axiom und Beweis war die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie.

Literatur

  • Euklid: Die Elemente.
  • H. M. S. Coxeter: Introduction to Geometry.
  • Georg Glaeser, Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik, Elsevier, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2005, ISBN 3-8274-1588-8.

Siehe auch

Weblinks

ast:Xeometría sco:Geometry simple:Geometry zh-min-nan:Kí-hô-ha̍k

Diskussion der Autoren über den Artikel: Geometrie

Warum sind Kurven lokal eindimensional?

nhilbert

Liebe Mitautoren von "Geometrie"

ich habe mir die Muehe gemacht, den Artikel "Geometrie" ein wenig ausgewogener zu formulieren. Der bisherige Text legt Schwerpunkte auf Bereiche, die nicht so wirklich zentral sind, und er laesst vor allem das richtige Verhaeltnis zwischen den vielen vielen Dingen, die sich Menschen auf der ganzen Welt unter "Geometrie" vorstellen, vermissen. Ich habe mich bemueht, die wesentlichen Inhalte des bisherigen Textes zu uebernehmen, jedoch dort wo es notwendig war, zu relativieren bzw. zu erwaehnen, dass es hier noch etwas Anderes gibt.

Nachdem ich bisher mit der wikipedia wenig zu tun hatte, kann ich sie kaum richtig benutze. Z.B. habe ich einfach, als ich am naechsten Tag wieder die vorherige Version des Artikels gesehen habe, unter den frueheren Versionen die meine gesucht, ein paar Tippfehler korrigiert, und das Ganze noch einmal abgespeichert.

Mit freundlichen Gruessen,

J. Wallner, Institut f. diskrete Mathematik und Geometrie, Techn. Universitaet Wien, wallner@geometrie.tuwien.ac.at

Vielen Dank! Ich glaube, das ist ein guter erster Schritt um den Artikel von einer Liste verschiedener Links zum Thema Geometrie zu einem echten Artikel über Geometrie zu machen. Nur Mut zu weiteren Änderungen!
Bitte bei Änderungen aber immer darauf achten, die jeweils aktuelle Version zu bearbeiten (und nicht die letzte eigene), da sonst die in der Zwischenzeit von anderen gemachten Änderungen überschrieben würden. In Deinem Fall hatte zum Glück niemand etwas geändert... --Yonatan 16:58, 9 November 2005 (CET)

Geometrie beschaeftigt sich mit Punkten und Geraden als Grundelementen.

Das ist schon eine sehr vereinfachte Darstellung. Es gibt auch eine Geometrie die sich mit Kreisen oder Kugeln als Grundelementen beschaeftigt und vieles mehr...

Nein. Im allgemeinen sind Punkte und Geraden abstrakte Mengen und haben nichts mit der Anschauung zu tun. So ist es zum beispiel möglich Objekte, die in der Anschauung Kreise darstellen, als Geraden zu bezeichnen.--MKI 12:49, 12. Sep 2005 (CEST)

Albrecht Beutelspacher z.B. definiert eine Geometrie als eine Menge von Objekten zusammen mit einer symmetrischen und reflexiven Relation auf dieser Menge.[rnd]

Artikel()struktur

Kann mir bitte jemand erklären, warum die Differentialgeometrie unbedingt vor der Planimetrie, Trigonometrie stehen muss? --Alien4 14:08, 8. Nov 2005 (CET)


Diese Definition bzw. Erklärung des Begriff Geometrie und dessen Bedeutung wurde zuletzt am 8.2.2006 aktualisiert (Glossar Lexikon Enzyklopädie).


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